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Störungen der hydrodynamischen Gleichungen

Published onJan 15, 2024
Störungen der hydrodynamischen Gleichungen
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Einleitung

Im Rahmen des Seminars “Klassische Mechanik” sind die idealen hydrodynamischen Gleichungen immer wieder vorgekommen. Sie dienen als Ausgangspunkt für viele Überlegungen, weil sie die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie repräsentieren. Sie lauten:

ρt+(ρv)=0,(1)\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+ \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0, \tag{1}
vt+(v)v=1ρp+g,(2)\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t}+ (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v}= -\dfrac{1}{\rho} \vec{\nabla}p+ \vec{g}, \tag{2}
t(ρv22+ρϵ)+[ρv(v22+h)]=0.(3)\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\rho v^2 }{2}+ \rho \epsilon\right)+ \vec{\nabla}\cdot \left[ \rho \vec{v}\left(\dfrac{ v^2 }{2}+ h \right)\right]= 0. \tag{3}

Hierbei beschreiben ρ\rho die Dichte, v\vec{v} die Geschwindigkeit und pp den Druck des Fluides, während ϵ\epsilon die innere Energie pro Masseneinheit und hh die Enthalpie pro Masseneinheit darstellen. Für die weiteren Überlegungen sind nur die ersten beiden Gleichungen von Bedeutung, d.h. die Euler-Gleichung und die Kontinuitätsgleichung. Unser Ziel ist die Beantwortung der folgenden Frage: Was passiert, wenn wir die idealen hydrodynamischen Gleichungen leicht stören?

Schallwellen

Unter einer Schallwelle versteht man eine Schwingungsbewegung mit kleinen Amplituden in einer kompressiblen Flüssigkeit oder einem kompressiblen Gas. Die Periodizität dieser Schwingungsbewegung führt zu einer an jedem Ort abwechselnden Verdichtung und Verdünnung des Fluides und ist somit mit kleinen, wegen der geringen Amplitude der Schwingung, Druck- und Dichteschwankungen verknüpft. Diese Kompressionen und Expansionen in dem Fluid erfolgen schnell genug, dass sie als reversible adiabatische Zustandsänderungen betrachtet werden können. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die Entropie dabei konstant. Zustandsänderungen oder Strömungen mit konstanter Entropie heißen isentrop und werden durch die Poisson-Gleichung beschrieben:

pVγ=konst.bzw.pργ=konst.,(4)pV^\gamma = \mathrm{konst.} \quad \text{bzw.} \quad p\rho^{-\gamma} = \mathrm{konst.}, \tag{4}

wobei γ\gamma den Adiabatenexponenten bezeichnet.

Schallausbreitung

Durch Störung der hydrodynamischen Gleichungen wollen wir eine Gleichung ableiten, die die Schallausbreitung in einem Fluid beschreibt. Dafür verwenden wir zwei verschiedene Ansätze:

  1. Im ersten Ansatz stören wir bekannte Lösungen der hydrodynamischen Gleichungen im Ruhesystem dieser Lösungen,

  2. während im zweiten die Betrachtung von Schallwellen als Schwingungsbewegung verwendet wird, indem die konstanten Größen der Gleichgewichtslage leicht gestört werden. Hier wird die Geschwindigkeit als der Gradient eines Geschwindigkeitspotentials dargestellt.

Beide Ansätze beruhen auf der obigen adiabatischen Näherung.

Erste Untersuchung

Für das erste Szenario machen wir ein paar Annahmen und Näherungen, auf die wir im Folgenden genauer eingehen wollen.

Ohne Einfluss äußerer Kräfte nimmt die Euler-Gleichung folgende Form an:

vt+(v)v=1ρp,(5)\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t}+ (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v} = -\dfrac{1}{\rho} \vec{\nabla}p, \tag{5}

wobei die Kontinuitätsgleichung Gl. 1 unverändert bleibt. Wir nehmen an, dass ein Satz von Lösungen ρ0,v0\rho_0, v_0 und p0p_0 bereits gefunden ist und darüber hinaus ausreichend glatt und langsam veränderlich ist, sodass räumliche und zeitliche Ableitungen vernachlässigt werden können.

Mithilfe einer Galilei-Transformation wechseln wir in das Ruhesystem der bekannten Lösungen, d.h. v0=0v_0=0. Wir wollen nun die bekannte Lösung mit Hilfe von kleinen Schwankungen δρ,δv,δp\delta\rho, \delta\vec{v}, \delta p stören. Wir interessieren uns nur für die Schwankungsterme erster Ordnung. Nach den obigen Überlegungen kann der Druck als Funktion p(ρ)p(\rho) der Dichte ρ\rho geschrieben werden. Damit erhalten wir

p(ρ0+δρ)=p(ρ0)+(pρ)sδρ(6)p(\rho_0 +\delta \rho)= p(\rho_0)+ \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s} \delta \rho \tag{6}

bzw. nach Umformung

δpp(ρ0+δρ)p(ρ0)=(pρ)sδρ.(7)\delta p \coloneqq p(\rho_0 +\delta \rho)- p(\rho_0) = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}\delta \rho. \tag{7}

Der Index ss bezeichnet hierbei die Berechnung der Ableitung bei konstanter Entropie. Wir definieren zusätzlich die Größe cs2c_s^2, die sich später als nützlich erweisen wird:

cs2(pρ)s.(8)c_s^2 \coloneqq \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}. \tag{8}

Nun sind wir in der Lage, die gestörten Größen in Gl. 1 und Gl. 5 einzusetzen und sie mit Hilfe der obigen Annahmen und Überlegungen zu vereinfachen.

Die Kontinuitätsgleichung lässt sich umformen:

0=(ρ0+δρ)t+[(ρ0+δρ)(v0+δv)]=(ρ0+δρ)t+(ρ0v0+δρv0+δvρ0+δρδv01,  da  2.  Ord.)=δρt+ρ0t+(ρ0v0)=0+(δρv0+δvρ0),(9)\begin{align} 0 &= \dfrac{\partial (\rho_0+ \delta \rho)}{\partial t}+ \vec{\nabla} \cdot [(\rho_0+ \delta \rho) (\vec{v}_0+ \delta \vec{v})] \\ &= \dfrac{\partial (\rho_0+ \delta \rho)}{\partial t}+ \vec{\nabla} \cdot (\rho_0 \vec{v}_0+ \delta \rho \vec{v}_0+ \delta\vec{v} \rho_0+ \underbrace{\delta \rho \delta \vec{v}_0}_{\ll 1, \;\text{da}\;2.\;\text{Ord.}}) \\ &= \dfrac{\partial \delta \rho}{\partial t}+ \underbrace{\dfrac{\partial \rho_0}{\partial t}+ \vec{\nabla} \cdot (\rho_0 \vec{v}_0)}_{=0}+\vec{\nabla} \cdot (\delta \rho \vec{v}_0+ \delta\vec{v} \rho_0), \end{align} \tag{9}

woraus schließlich

δρt+ρ0δv=0(10)\dfrac{\partial \delta \rho}{\partial t}+ \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \delta\vec{v} = 0 \tag{10}

folgt.

Bei Abwesenheit äußerer Kräfte ist die Euler-Gleichung mit Störungstermen gegeben durch:

(v0+δv)t+[(v0+δv)](v0+δv)=1ρ0+δρ(p0+δp)(11)\dfrac{\partial (\vec{v}_0+ \delta \vec{v})}{\partial t}+ [(\vec{v}_0+ \delta \vec{v}) \cdot \vec{\nabla}] (\vec{v}_0+ \delta \vec{v})= -\dfrac{1}{\rho_0+ \delta \rho} \vec{\nabla}(p_0+ \delta p) \tag{11}

Ähnliche Umformungsschritte wie oben liefern

δvt+(v0)δv+(δv)v0=0,  wegen  v0=0+(δv)δv1,  da  2.  Ord.+v0t+(v0)v0=1ρ0p0=01ρ0δp(12)\dfrac{\partial \delta \vec{v}}{\partial t}+ \underbrace{(\vec{v}_0\cdot \vec{\nabla})\delta \vec{v}+ (\delta \vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}_0}_{=0,\; \text{wegen}\; \vec{v}_0=0}+ \underbrace{(\delta \vec{v} \cdot \vec{\nabla})\delta \vec{v}}_{\ll 1, \;\text{da}\;2.\;\text{Ord.}} \\+ \underbrace{\dfrac{\partial \vec{v}_0}{\partial t}+ (\vec{v}_0\vec{\nabla})\vec{v}_0= -\dfrac{1}{\rho_0} \vec{\nabla}p_0}_{=0} -\dfrac{1}{\rho_0} \vec{\nabla}\delta p \tag{12}

und schließlich

δvt=1ρ0δp.(13)\dfrac{\partial \delta \vec{v}}{\partial t}= -\dfrac{1}{\rho_0} \vec{\nabla}\delta p. \tag{13}

Mithilfe der beiden Gleichungen Gl. 7 und Gl. 8 lässt sich Gleichung Gl. 13 umformen:

ρ0δvt=cs2δρ.(14)\rho_0\dfrac{\partial \delta \vec{v}}{\partial t}= -c_s^2 \vec{\nabla} \delta\rho. \tag{14}

Die zeitliche Ableitung der linearisierten Kontinuitätsgleichung Gl. 10 und die Divergenz der linearisierten Euler-Gleichung Gl. 8 berechnen sich zu:

2δρt2+ρ0tδv=0,(15)\dfrac{\partial^2 \delta \rho}{\partial t^2}+ \rho_0 \dfrac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla} \cdot \delta\vec{v} = 0, \tag{15}
ρ0tδv=cs2Δδρ(16)\rho_0\dfrac{\partial }{\partial t}\vec{\nabla} \cdot\delta \vec{v}= -c_s^2 \Delta \delta \rho \tag{16}

Ein Vergleich dieser beiden Gleichungen ergibt:

2δρt2=cs2Δδρ(17)\dfrac{\partial^2 \delta \rho}{\partial t^2}= c_s^2 \Delta \delta \rho \tag{17}

Alternativ kann man mithilfe von Gl. 7 in Gleichung Gl. 10 δρ\delta \rho durch δp\delta p ersetzen, die zeitliche Ableitung berechnen und diese Beziehung mit der Divergenz von Gleichung Gl. 13 vergleichen. Man erhält:

2δpt2=cs2Δδp.(18)\dfrac{\partial^2 \delta p}{\partial t^2}= c_s^2 \Delta \delta p. \tag{18}

Zweite Untersuchung

Eine andere Möglichkeit, die idealen hydrodynamischen Gleichungen zu stören, basiert auf der Theorie der Potentialströmungen. Hierbei wird ein Geschwindigkeitspotential ϕ\phi eingeführt, das zur Beschreibung der Geschwindigkeit dienen soll; Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die Strömung wirbelfrei ist. Außerdem muss die Strömung reibungsfrei sein, was für ideale1 Fluide der Fall ist. Somit gilt:

v=ϕ.(19)\vec{v} = \vec{\nabla}\phi. \tag{19}

Schallwellen wurden als Schwingungsbewegungen beschrieben, mit denen Druck- und Dichteschwankungen verknüpft sind. Die Störungen von Druck δp\delta p und Dichte δρ\delta \rho können also als Auslenkungen um eine konstante “Gleichgewichtslage” betrachtet werden:

p=p0+δpundρ=ρ0+δρ,(20)p= p_0+ \delta p \quad \text{und} \quad \rho= \rho_0+ \delta \rho, \tag{20}

wobei p0p_0 der konstante Druck und ρ0\rho_0 die konstante Dichte im Gleichgewicht sind. Verglichen mit den konstanten Größen sind die Auslenkungen ausreichend klein.

Wie im vorigen Abschnitt untersuchen wir nun die Störung der Gleichungen Gl. 1 und Gl. 2. Terme zweiter Ordnung in den Störungen werden wiederum vernachlässigt, ebenso der Term (v)v(\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v} in der Euler-Gleichung, da die Geschwindigkeit vv der Flüssigkeitsteilchen als gering gegenüber der Ausbreitungsgeschwindigkeit angenommen wird. In der Gleichgewichtslage werden die hydrodynamische Gleichungen per Annahme erfüllt.

Die linearisierte Kontinuitätsgleichung lautet nun:

δρt+ρ0v=0(21)\dfrac{\partial \delta \rho}{\partial t}+ \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0 \tag{21}

Weil unsere Überlegungen zu Isentropie auch weiterhin gelten sollen, und daher insbesondere auch die Gleichungen Gl. 7 und Gl. 8 folgt weiter:

δpt+ρ0cs2v=0.(22)\dfrac{\partial \delta p}{\partial t}+ \rho_0 c_s^2\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0. \tag{22}

Die linearisierte Eulersche Gleichung ergibt sich zu:

vt=1ρ0δp.(23)\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t}= -\dfrac{1}{\rho_0} \vec{\nabla}\delta p. \tag{23}

Integration der Gleichung Gl. 23 und Verwendung der Beziehung Gl. 19 liefert:

δp=ρ0ϕt.(24)\delta p= -\rho_0 \dfrac{\partial\phi}{\partial t}. \tag{24}

Einsetzen in Gleichung Gl. 22 liefert schließlich

2ϕt2=cs2Δϕ.(25)\begin{aligned} \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}= c_s^2 \Delta \phi. \end{aligned} \tag{25}

Das Ergebnis unserer Überlegungen sind die Gleichungen Gl. 17, Gl. 18 und Gl. 25. Diese drei Gleichungen besitzen die gleiche, für uns bekannte Form der Wellen- oder d’Alembert-Gleichung und sind äquivalent zueinander. Beispielsweise liefert die zeitliche Ableitung von Gl. 25 die Beziehung Gl. 18. Der Parameter csc_s muss also die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle beschreiben, d.h. die Schallgeschwindigkeit:

cs=(pρ)s.(26)c_s = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}}. \tag{26}

Eindimensionale Schallausbreitung

In diesem Abschnitt wollen wir die Schallausbreitung beispielhaft in einer Dimension untersuchen.

2ϕt2=cs22ϕx2(27)\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}= c_s^2 \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \tag{27}

Eine mögliche Lösung dieser (eindimensionalen) Differentialgleichung basiert auf dem sogenannten d’Alembert-Ansatz:

ϕ(x,t)=F1(x+cst)+F2(xcst),(28)\phi(x,t)= F_1(x+c_st)+ F_2(x-c_st), \tag{28}

wobei F1,F2F_1, F_2 beliebige reelle Funktionen sind. Findet die Ausbreitung entlang der xx-Achse statt, ist die Bewegung innerhalb der yzyz-Ebene homogen. Eine solche Welle heißt ebene Welle. In diesem Fall gilt v=(ϕ/x,0,0)\vec{v}= (\partial \phi/ \partial x,0,0). Folglich bewegen sich die Flüssigkeitsteilchen entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle, man spricht von einer longitudinalen Welle.

Schallgeschwindigkeit

Um die Schallgeschwindigkeit für ideale Gase zu berechnen, müssen wir die isentrope Ableitung des Drucks nach der Dichte ermitteln. Dichte und Druck zweier Zustände hängen über die Poisson-Gleichung gemäß

pργ=p1ρ1γ(29)\dfrac{p}{\rho^{\gamma}}=\dfrac{p_1}{\rho_1^{\gamma}} \tag{29}

zusammen. Das Verhältnis p/ρp/\rho ist durch die Zustandsgleichung idealer Gase gegeben:

pρ=RTMmol,(30)\dfrac{p}{\rho}= \dfrac{RT}{M_{\text{mol}}}, \tag{30}

wobei RR die ideale Gaskonstante, TT die Temperatur und MmolM_{\text{mol}} die molare Masse des Gases bezeichnen. Die isotherme Ableitung dieser Beziehung nach der Dichte ergibt sich zu:

(pρ)T=RTMmol(31)\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{T}= \dfrac{RT}{M_{\text{mol}}} \tag{31}

Unter Verwendung der Beziehung Gl. 29 lässt sich auch die isentrope Ableitung des Drucks nach der Dichte berechnen:

(p(ρ)ρ)s=(ρp1ρ1γργ)s=γργ1p1ρ1γ(pρ)s=pγρ.(32)\left(\frac{\partial p(\rho)}{\partial \rho}\right)_{s} = \left(\frac{\partial }{\partial \rho}\dfrac{p_1}{\rho_1^{\gamma}} \rho^{\gamma}\right)_{s} = \gamma \rho^{\gamma -1}\dfrac{p_1}{\rho_1^{\gamma}}\Rightarrow \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}= \dfrac{p\gamma}{\rho}. \tag{32}

Mithilfe der Gleichungen Gl. 30 und Gl. 8 erhält man:

cs=γRTMmol(33)c_s=\sqrt{\gamma \cdot \dfrac{RT}{M_{\text{mol}}}} \tag{33}

Aus dem Vergleich der beiden Ausdrücke Gl. 31 und Gl. 33 folgt, dass die adiabatische Schallgeschwindigkeit das Produkt des Adiabatenkoeffizienten und der isothermen Ableitung des Drucks nach der Dichte ist. γ\gamma hängt normalerweise schwach von der Temperatur ab, daher ist die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas proportional zu T\sqrt{T}.

Die Schallausbreitung in der Luft ist der bekannteste Fall aus dem Alltag. Die molare Masse der Luft beträgt Mmol=0,02896J/molM_{\text{mol}}=0,02896\,\text{J/mol} und der Adiabatenkoeffizient bei einer Temperatur von etwa 20°20° und normalem Druck ist: γ=1,402\gamma= 1,402. Die ideale Gaskonstante ist: R=8,3145J/mol/KR=8,3145\,\text{J/mol/K}. Man kann also die Schallgeschwindigkeit in Luft, betrachtet als ein ideales Gasgemisch, mit

cs, Luft20,063  ms  TK(34)c_{s,\text{ Luft}}\approx 20,063\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\; \sqrt{\dfrac{T}{K}} \tag{34}

berechnen. Die Temperatur wird in Kelvin angegeben. Umwandlung in Grad Celsius liefert:

cs, Luft331,5  ms  1+ϑ273,15°(35)c_{s,\text{ Luft}}\approx 331,5\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \;\sqrt{1+\dfrac{\vartheta}{273,15°}} \tag{35}

Für ϑ=20°\vartheta=20° ergibt die Berechnung eine Schallgeschwindigkeit von 343,4m/s343,4\,\text{m/s}.

Daneben ist auch eine experimentelle Ermittlung der Schallgeschwindigkeit möglich. Es gibt sowohl direkte, als auch indirekte Methoden. Eine direkte Messung der Schallgeschwindigkeit basiert auf dem Kundtschen Rohr, die üblicherweise im Rahmen des Anfängerpraktikums durchgeführt wird. Eine indirekte Messung bestünde ferner in einer Bestimmung des Adiabatenkoeffizienten nach der Methode von Rüchardt. Diese beiden Vorschläge sollen lediglich einen groben Überblick geben, genauere Messungen sind sehr viel komplizierter.

Abschließende Überlegungen

In diesem Artikel wurde gezeigt, wie leichte Störungen in den idealen hydrodynamischen Gleichungen auf die Wellengleichung führen, die die Schallausbreitung in Fluiden beschreibt. Mithilfe eines D’Alembert-Ansatzes konnte die eindimensionale Wellengleichung gelöst werden. Als zentrales Ergebnis wurde dabei gefunden, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schall in idealen Gasen proportional zu T\sqrt{T} ist.

Zum Schluss möchte ich an dieser Stelle eine Inkonsistenz in der Herleitung betonen. Wie in der Fußnote bereits angedeutet, verlangt die Schallausbreitung kompressible Fluide, sodass Dichteschwankungen überhaupt existieren können. Dies bedeutet aber, dass die Einführung des Geschwindigkeitspotentials in Abschnitt 4 und die Annahme der Barotropie in Abschnitt 3 strenggenommen unzulässig ist. In der obigen Untersuchung habe ich diese Inkonsistenz mit der sehr niedrigen Druckamplitude von Schall begründet, die einige N/m2N/m^2 erreicht. Von der Gültigkeit dieses Arguments bin ich aber nicht völlig überzeugt. Eine Betrachtung von kompressiblen Fluiden wäre mit den idealen hydrodynamischen Gleichungen nicht sinnvoll und ist außerhalb des Umfangs dieser Untersuchung.

Danksagung

Ich möchte mich herzlich bei Prof. Dr. Matthias Bartelmann für seine Anregungen und Korrekturen bezüglich Inhalt, Sprache und Grammatik bedanken.

Für diese Ausarbeitung habe ich Material aus [1], [2] und [3] verwendet.

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